Задача 1. Поиск оптимального объема производства в условиях неопределенности
ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 1315 руб., мужских туфель – 1180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 1430 и 1240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1300 ботинок и 1900 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1700 ботинок и 1500 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).
Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых ООО «Скороход», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.
Задача 2. Системы массового обслуживания (СМО)
Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 3 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 4 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 2 (у.е.), для второго случая 3,5 (у.е.); издержки, связанные с простоем в минуту (у.е.) для первого случая 0,5, для второго случая 1. Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1,2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0,3 заказа/мин. Издержки, связанные с пребыванием требований в системе в единицу времени, не учитываются.
Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 3 и 4 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.
Задача 3. Оптимальное распределение ресурсов между предприятиями в плановом периоде
Имеется начальное количество средств Ко, выделенное двум хозяйствам для закупки нового оборудования на 5 лет. Необходимо максимально распределить средства между предприятиями по годам, чтобы к концу периода Т суммарный доход F от всей системы предприятий был максимальным. Оптимальную стратегию планирования, обеспечивающую максимальную прибыль за период Т вычислить в соотношении на каждый рубль вложенных средств.
Коэффициенты а=0,3, в=0,4 характеризуют эффективность вложений средств, а =0,5, =0,8 - эффективность использования оборудования для первого и второго предприятий соответственно.
Задача 4. Оптимальное распределение ресурсов между филиалами предприятия
Предприятие планирует открыть филиалы в Михайловке, Урюпинске и Котельниково, для чего выделяются средства в размере 5 млн. руб.
По расчетам экономистов, каждый филиал при инвестировании в него х тыс. руб. приносит прибыль I(х) тыс. руб. Эти данные приведены в таблице 4.1.
Необходимо выбрать оптимальное распределение выделенных средств между филиалами, обеспечивающее максимальную прибыльность всего проекта.
Таблица 4.1
Вложенные средства (х млн. руб.) Филиал
Михайловка Урюпинск Котельниково
1(х) 2(х) 3(х)
1 1.50 1.40 2.00
2 3.00 3.50 3.10
3 4.50 4.50 4.60
4 6.00 5.50 6.20
5 6.50 7.00 6.50
Задача 5. Оптимальное назначение
Пусть имеются n работ и n кандидатов для выполнения этих работ. Назначение кандидата на i на работу j связано с затратами Cij (i,j=1, 2, …, n). Требуется найти назначение кандидатов на все работы, дающие минимальные суммарные затраты, при этом каждого кандидата можно назначить только на одну работу и каждая работа может быть занята только одним кандидатом. Исходные данные представлены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Аi Bj
В1 В2 В3 В4
А1 8 12 8 13
А2 7 9 9 10
А3 9 12 7 13
А4 14 12 8 13
Задача 6. Оптимальная стратегия обновления оборудования
Предприятие в начале пятилетнего периода выделило К млн. руб. для комплектования оборудования, стоимость единицы которого К1 млн. руб. Единица оборудования за год приносит предприятию П млн. руб. прибыли. Необходимо разработать такую программу пополнения оборудования, чтобы суммарная прибыль от его внедрения в течение планового периода была максимальной.
К=4 К1=2 П=0,55
Задача 7. Модель экономического заказа (управление товарными запасами)
Компания ежегодно закупает D штук деталей по цене Ц руб./шт. и использует их на сборке. Затраты хранения одной детали в течение года Н руб./шт. Затраты заказа S руб./заказ. Эффективный фонд времени работы за год Ф рабочих дней. Доставка заказа от поставщиков занимает L рабочих дней.
Используя модель экономичного заказа определить:
Q* - оптимальный размер закупочной партии
N – число заказов за год
T – время между заказами
d – интенсивность потребления запаса (дневную потребность)
ROP – точку перезаказа
C – общие затраты.
D=1000, Ц=60, Н=20, S=90, Ф=200, L=2
Задача 8. Сетевое планирование и управление
Составлен предварительный график перечня работ по организации оптовой ярмарки. Требуется построить сетевой график, определить критический путь, критические работы, резервы времени.
Распределить выделенные ресурсы между отдельными видами работ так, чтобы минимизировать время выполнения всего комплекса работ.
Таблица 8.1
Содержание работ Обозначение Опорные работы Выделенные ресурсы Длительность работ
Заказ на оборудование а1 5 14
Разработка системы учета спроса а2 5 16
Отбор товаров и выписка счетов а3 а1 5 2
Завоз товара а4 а3 10 3
Завоз оборудования а5 а1 10 3
Установка оборудования а6 а5 10 7
Выкладка товара а7 а4 10 5
Учет наличие товара а8 а4 5 5
Оформление зала а9 а6, а7 5 7
Изучение документов а10 а2, а8 5 3
Репетиция а11 а9, а10 10 4
Проведение ярмарки а12 а11 20 1
Задача 9.
Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2.
На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить а11 кг сырья первого типа, a21 кг сырья второго типа, а31 кг сырья третьего типа.
На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить а12 кг сырья первого типа, а22 кг сырья второго типа, а32 кг сырья третьего типа.
Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве b1 кг, b2 кг, b3 кг соответственно.
Рыночная цена единицы изделия 1 составляет с1 тыс. руб., а единицы изделия 2 — c2 тыс. руб.
Требуется:
1) построить математическую модель задач;
2) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации, при помощи графического метода решения задачи линейного программирования;
3) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации, при помощи табличного симплекс-метода решения задачи линейного программирования;
4) найти двойственные оценки сырья каждого типа и коэффициенты структурных сдвигов.
а11=3
а21=2
а31=5
с1=33
а12=1
а22=8
а32=6
с2=24
b1=330
b2=800
b3=745
Задача 10
На трех базах A1, А2, А3, находится однородный груз в количестве а1 т, а2 т, а3 т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В1, В2, В3, В4, B5, потребности которых в данном грузе составляют b1 т, b2 т, b3 т, b4 т, b5 т соответственно.
Известны тарифы, т.е. затраты на перевозку одной тонны груза от каждого склада до каждого потребителя сij тыс.руб./т и значения а1, а2, а3, b1, b2, b3, b4, b5 которые приведены в таблице 10.1.
Требуется:
1. найти первый опорный план методом минимальных тарифов;
2. построить оптимальный план перевозок методом потенциалов.
Таблица 10.1
Поставщики Потребители Запасы
В1 В2 В3 В4 В5
A1 15 8 5 21 15 150
А2 4 12 7 8 10 200
А3 11 20 13 4 5 200
Потребность 100 180 40 120 110
Задача 11
В таблице 11.1 приведена платежная матрица антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой.
Найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Таблица 11.1
Стратегии 1 игрока Стратегии 2-го игрока
В1 В2 В3
А1 4 -3 -2
А2 2 1 0
А3 0 2 -1